Основой фамилии Богажков послужило церковное имя Богажко. Фамилия Богажков образована от имени Богажко (Богашко), которое, вероятно, является производной формой имени Богослав. Имя Богослав является древнерусским и означает «славящий Бога». Менее вероятно, что фамилия Богажков образована от прозвища Богажок, которое, скорее всего, восходит к названию пролива Богаз в Азербайджане. Название самого пролива происходит от тюркского слова «богаз», что в переводе на русский язык означает «горло». Вероятно, предок носителя фамилии жил на берегах этого пролива. Чередование согласных з/ж стало результатом исторических процессов, происходивших в ходе развития языка. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Богажко, со временем получил фамилию Богажков.