Фамилия Богажкова — вариант женского рода от фамилии Богажков. Её основа — имя или прозвище Богажко, и здесь есть две основные версии происхождения. Первая и наиболее вероятная: Богажко — это производная форма древнерусского имени Богослав, что означает «славящий Бога». В таком случае фамилия относится к группе «полуимен»: полное церковное имя сокращали в быту, добавляя уменьшительный суффикс -к-, а затем по модели отчества закрепили в фамилии. Скорее всего, основатель рода был человеком простого сословия — в крестьянской и мещанской среде такие сокращённые формы имён были обычным делом.

Вторая версия связывает фамилию с географическим названием. Прозвище Богажок могло возникнуть от тюркского слова «богаз» (горло, пролив) — так, в частности, называется пролив Богаз в Азербайджане. Если предок жил на его берегах, его могли прозвать по месту жительства. Чередование согласных з/ж (Богаз → Богажок) — результат естественных исторических процессов в языке, когда тюркское слово адаптировалось в русской речи.

Какая из версий правдоподобнее? Имя Богослав и его производные встречаются в русской ономастике чаще, чем прозвища от топонимов Закавказья. К тому же суффикс -ко (Богажко) типичен для украинских и южнорусских уменьшительных форм имён. Так что первая версия — основная, вторая — возможная, но менее вероятная. Фамилия редкая, в современных справочниках массово не фиксируется, что говорит о её локальном бытовании.