Фамилия Богажковы — одна из тех, чья история складывается из двух совершенно разных версий, и выбрать между ними непросто. Первая и самая вероятная связывает её с древнерусским именем Богажко (или Богашко). Скорее всего, это была уменьшительная или обиходная форма от полного имени Богослав — имени с прозрачным смыслом «славящий Бога». Такие стяжённые формы были в ходу в быту: длинное имя сокращали, добавляли суффикс -к-, и получалось ласковое домашнее прозвище, которое потом закреплялось за детьми уже как фамилия. Если следовать этой логике, Богажковы — потомки человека по имени Богослав.

Вторая версия уводит нас совсем в другую сторону — к географии. Слово «богаз» тюркского происхождения означает «горло», а в топонимике так называют узкие проливы. Самый известный пример — пролив Богаз в Азербайджане. Есть гипотеза, что прозвище Богажок могли дать человеку, жившему у такого пролива или переправы. Чередование «з/ж» в корне (Богаз → Богаж) — явление для русского языка обычное, особенно в диалектной речи. Однако эта версия кажется менее убедительной: слишком далеко нужно искать связь между тюркским географическим названием и русской фамилией с типичным славянским суффиксом -ов. Скорее всего, перед нами случай, когда народная этимология подтянула похоже звучащее слово к уже существующему имени.

Фамилия образована по стандартной модели: к основе Богажк- добавили суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Богажка). Суффикс -ов — один из самых распространённых в русских фамилиях, он закрепился за большинством фамилий, произошедших от имён и прозвищ на твёрдый согласный. Так что по форме Богажковы — типичная русская фамилия, а вот по корню — редкая, со своей загадкой.