Фамилия Богдашев образована от имени Богдан, которое пришло в русский язык из Болгарии и означает «данный богом». Но ключ к происхождению фамилии не в самом имени, а в его суффиксе. В основу легла не полная форма, а производная — Богдаша. Суффикс -ша в русских именах (Тимоша, Гриша, Яша) характерен для простонародной, обиходной речи. Это значит, что предок носителя фамилии в быту звался не торжественным Богданом, а уменьшительным Богдашей, и именно эта форма закрепилась в фамилии.

Словообразовательная модель проста: к основе Богдаш- добавили типичный русский суффикс принадлежности -ев, указывающий на отчество или прозвище отца. Буква «д» в середине сохранилась, хотя в разговорной речи часто выпадала (сравните Богашов — вариант той же фамилии). Таким образом, Богдашев буквально значит «сын Богдаши». Скорее всего, основатель рода был выходцем из простого сословия: среди крестьян и посадских людей такие обиходные формы имени были нормой, тогда как дворяне чаще фиксировались под полным именем.

Интересная деталь: фамилия Богдашев встречается не только у русских, но и у украинцев и белорусов, где имя Богдан традиционно популярнее. В этих языках суффикс -ша тоже активен, так что география фамилии шире, чем кажется на первый взгляд. В документах XVII–XVIII веков можно найти запись «Богдашка Иванов» — именно из таких отчеств и вырастали фамилии на -ев. Так что за фамилией Богдашев стоит не абстрактное имя, а живое прозвище предка, которого в семье звали по-свойски.