Фамилия Богдашов образована от мужского крестильного имени Богдан, которое пришло в русский язык из Болгарии и означает «данный богом». В основу фамилии легла не сама полная форма, а производная — Богдаша. Это типичная для русских фамилий модель: суффикс -ов указывает на принадлежность, то есть Богдашов — «сын Богдаши». Такая уменьшительно-ласкательная форма имени была распространена в быту, особенно среди простых сословий, где полные имена использовали реже.

Сам корень фамилии — Богдан — один из немногих славянских имён, который не был заимствован из греческого календаря, а возник на местной почве как калька с греческого Феодор (Тимофей). Однако в отличие от Фёдора, имя Богдан долго не входило в официальные святцы, поэтому чаще встречалось в южных и западных регионах России, а также среди украинцев и белорусов. Соответственно, фамилия Богдашов могла возникнуть на территориях, где имя Богдан было особенно популярно.

По социальному происхождению носители фамилии чаще всего были крестьянами или посадскими людьми. В дворянской среде такие «полуимена» на -ша (Богдаша, Гаврюша, Иваша) встречались редко — там предпочитали полные формы. Поэтому версия о простом сословии основателя фамилии выглядит правдоподобно.

В написании фамилии есть одна особенность: суффикс -ов, а не -ев, хотя основа оканчивается на шипящий «ш». По правилам русского языка после шипящих под ударением пишется -ов (как в фамилиях Кузнецов, Ершов), а без ударения — -ев. Ударение в фамилии Богдашов падает на последний слог, что и закрепило написание через «о». Встречаются и варианты с ударением на второй слог — Богда́шов, но они редки и обычно связаны с местными говорами.

Таким образом, фамилия Богдашов — это типичная «отчество» от обиходной формы имени Богдан, указывающая на то, что предок носителя был человеком незнатного происхождения, носившим простонародное имя Богдаша.