Фамилия Богдашин образована от имени Богдан — «Богом данный». Это имя пришло в русский язык из Болгарии вместе с принятием христианства и по сути является калькой с греческого Феодор (Теодор). В древнерусской традиции имя Богдан долго оставалось нецерковным: в святцах его не было, поэтому в метрических книгах оно встречается реже, чем в быту. На Севере и в Сибири, где церковный контроль был слабее, Богданов и Богдашиных традиционно больше, чем в центральных губерниях.

Разберём суффикс. В фамилии Богдашин выделяется суффикс -ин, типичный для притяжательных фамилий от основ на -а, -я. В народных формах имя Богдан часто превращалось в Богдаша: так называли сына или младшего в семье. Соответственно, Богдашин — это «чей?» — сын Богдаши. Такая модель (усечение имени + -ин) очень распространена: ср. Мишин, Сашин, Ванин.

Спорных версий происхождения у фамилии нет: корень прозрачен, суффикс стандартен. Редкость фамилии скорее в том, что имя Богдан не стало массовым в дворянской среде, а осталось в крестьянском и мещанском быту. Поэтому Богдашины — это потомки человека, которого в семье называли Богдашей, подчёркивая долгожданность или «молитвенность» его рождения.

В ономастических справочниках фамилию нередко путают с Богдановым, но разница принципиальна: Богданов — от полной формы имени, Богдашин — от уменьшительной. Это значит, что предок носителя фамилии был не просто Богданом, а именно Богдашей — скорее всего, младшим ребёнком или тем, кого так ласково звали в быту.