Фамилия Богдашко образована от производной формы крестильного имени Богдан. Само имя пришло в русский язык из Болгарии и в буквальном переводе означает «данный богом» — это калька с греческого имени Феодор (Фёдор). Однако в фамилии Богдашко интересен не столько корень, сколько суффикс и модель образования.

В основе лежит уменьшительно-ласкательная форма Богдаша. Суффикс -к- в фамилии Богдашко — не просто уменьшительный, а скорее указывающий на принадлежность или родство. В восточнославянской традиции фамилии на -ко (Богдашко, Ивашко, Петрушко) особенно характерны для украинской и белорусской антропонимии, где они изначально фиксировали прозвище или именование по отцу: Богдашко буквально понималось как «сын Богдаши».

Скорее всего, основатель фамилии был выходцем из простого сословия. Исходное имя Богдан в народной среде было распространено шире, чем в дворянской: оно считалось «мужицким», поскольку часто давалось детям, рождённым «Богом данным» — то есть нежданным или поздним. Фамилия Богдашко закрепилась в тех регионах, где была сильна традиция патронимических прозвищ на -ко — на юго-западе России, в Беларуси и на Украине. Встречаются и варианты написания с одной «ш» (Богдако), но форма Богдашко исторически точнее передаёт звучание исходного прозвища.