Фамилия Богдашевская принадлежит к типичной модели польско-украинских фамилий на -ский/-ская. Этот суффикс изначально указывал либо на дворянское происхождение (шляхетский герб), либо на связь с географическим названием — поместьем, селом или урочищем. В случае с Богдашевскими скорее всего сработал второй вариант: фамилию могли получить от названия населённого пункта вроде Богдашево или Богдашев, которых немало на территории бывшей Речи Посполитой — в современной Беларуси, Украине и восточной Польше.

Основа фамилии — мужское имя Богдан. Это древнее славянское имя, калька с греческого «Феодор» (Фёдор), что значит «данный Богом». От него образовались десятки фамилий: Богданов, Богданович, Богданчиков. Форма Богдашевский — более редкая, с дополнительным суффиксом -е-, который мог появиться через прозвищную форму Богдаш (как Иваш от Иван). То есть Богдашевский — буквально «выходец от Богдаша» или «владелец деревни Богдашево».

По сословной принадлежности Богдашевские чаще всего были мещанами или однодворцами (мелкопоместной шляхтой, потерявшей привилегии после разделов Польши). В метрических книгах XIX века эта фамилия встречается в Волынской, Киевской и Гродненской губерниях — именно там оседали обедневшие шляхтичи, которые брали фамилии по названиям своих хуторов.

Интересная деталь: в отличие от распространённой фамилии Богданов (которая может быть и русской, и украинской), форма Богдашевская почти всегда указывает на западнорусское или польское происхождение. Если ваш предок носил её до революции, он с высокой вероятностью был католиком или греко-католиком, а его родной язык — белорусский или украинский с польскими вкраплениями. В современной России фамилия редкая, чаще встречается в Беларуси и на Западной Украине.