Фамилия Богдашевский образована от имени Богдан, которое пришло на Русь из Болгарии и означает «данный богом». В обиходе имя часто сокращали до уменьшительной формы Богдаша — она и легла в основу фамилии. Типичный суффикс -евск- указывает на польскую или западнорусскую модель образования: в Речи Посполитой и на землях, входивших в состав Великого княжества Литовского, фамилии на -ский носили сначала шляхтичи, но позже эта форма распространилась среди всех сословий. Поэтому фамилия Богдашевский не обязательно говорит о дворянском происхождении — скорее всего, её основатель был выходцем из простых людей.

Есть и вторая версия: фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта Богдашево. Таких деревень в России, Беларуси и на Украине несколько, и предок мог получить фамилию по месту жительства или рождения. В этом случае суффикс -ский работает как топонимический, отвечая на вопрос «откуда родом?». Обе гипотезы не противоречат друг другу: имя Богдаша и топоним Богдашево восходят к одному корню. Так или иначе, потомок человека по имени Богдаша со временем закрепил за собой фамилию Богдашевский.

Словообразовательная модель здесь двойная: основа Богдаш- (от Богдаша) плюс типичный для восточнославянских фамилий суффикс -евск- (вариант -овск- после мягкого согласного). Сравните с однокоренными Богданов, Богданович, Богдашев — все они идут от того же имени, но разные суффиксы показывают, в какой среде и когда фамилия закрепилась. Богдашевский — одна из более поздних и географически привязанных форм.