Фамилия Болягин довольно редкая, и её разбор — хороший пример того, как в русских фамилиях сталкиваются разные языковые пласты. По модели образования это типичная патронимическая фамилия на -ин, указывающая на принадлежность к предку по имени или прозвищу Боляга.

Самая очевидная и распространённая версия связывает основу с диалектным словом «боляга» — так в некоторых русских говорах (особенно северных и сибирских) называли больного, хилого или часто болеющего человека. В этом случае прозвище Боляга мог получить ребёнок, который рос слабым, или взрослый, страдавший какой-то хронической болезнью. Прозвища, данные по физическому состоянию, в русской среде были обычным делом, и фамилия Болягин в таком случае — «сын Боляги», то есть потомок того самого хворого предка.

Однако есть и менее очевидная, но лингвистически интересная версия. В древнерусском языке и в некоторых славянских диалектах слово «боля» означало не только «боль», но и «забота», «печаль», «тревога». Соответственно, «боляга» могло быть прозвищем человека заботливого, беспокойного или, наоборот, того, кто сам доставлял хлопоты. Эта версия менее популярна в массовых справочниках, но её стоит учитывать, так как она расширяет семантику фамилии за пределы чисто медицинской темы.

С географической точки зрения фамилия Болягин встречается разрозненно, без ярко выраженного одного «гнезда». Единичные записи фиксируются в старых документах по Вологодской, Вятской и Пермской губерниям — то есть в регионах, где северные говоры сохраняли архаичную лексику. Это косвенно подтверждает первую, «северно-диалектную» версию происхождения. Встречаются также варианты написания через «е» — Белягин, но это уже совсем другая фамилия, связанная с прилагательным «белый», и путать их не стоит.

Таким образом, Болягин — фамилия, скорее всего, прозвищного происхождения, уходящая корнями в народную речь северных областей России. Её носитель мог быть потомком человека, которого в округе знали по слабому здоровью или, если принять вторую версию, по беспокойному нраву.