Фамилия Борсэ — редкий случай в русском ономастиконе. Её написание с конечным «э» сразу настораживает: это нехарактерно для исконно русских фамилий, которые обычно заканчиваются на -ов, -ин или -ский. Скорее всего, перед нами фамилия, пришедшая из французского языка, и её носитель — потомок выходца из Франции или, что вероятнее, из среды русских дворян, где в XVIII–XIX веках было модно давать детям французские имена и прозвища, а затем оформлять их как фамилии.

Сама основа «Борсэ» (Borset, Borsay) может восходить к французскому слову bourse — «кошелёк» или «биржа». В таком случае прозвище могло относиться к человеку, который имел дело с деньгами: ростовщику, казначею или купцу. Однако есть и другая версия: Борсэ — это искажённое написание фамилии Борсе, которая могла возникнуть от названия местности во Франции, например, коммуны Bors в департаменте Шаранта. Тогда фамилия указывала бы на географическое происхождение предка.

В русском контексте фамилия Борсэ могла быть искусственно создана в среде обрусевших иностранцев или дворян, стремившихся подчеркнуть свою европейскую образованность. Встречаются единичные упоминания этой фамилии в дореволюционных документах, например, среди петербургских чиновников или военных. Из-за редкости и нестандартного окончания фамилия не подчиняется обычным правилам склонения в русском языке: её не склоняют, как и другие заимствованные фамилии на гласный (типа Дюма, Гюго). Если вы носитель этой фамилии, можно предположить, что ваши предки не были крестьянами или мещанами — скорее, они принадлежали к образованным слоям общества, возможно, с иностранными корнями.