Фамилия Борсовская — не самая частая, и её разбор требует внимания к деталям. Сразу видно, что она образована по модели с суффиксом -ск-, который в русских фамилиях чаще всего указывает на географическое происхождение: «тот, кто родом из такого-то места». Основа здесь — Борсов- (или Борсово/Борсова). Это могло быть название населённого пункта, например, деревни Борсово или Борсова, существовавшей в прошлом в западных или центральных губерниях России. Такие топонимы, в свою очередь, нередко происходят от прозвища или имени первопоселенца — Борс, Борса или Борсо.

Корень «борс-» в русском языке неочевиден. Самое прямое объяснение — связь с диалектным словом «борс» или «борса», которое в некоторых говорах означало «барсук». Это животное, известное своей силой и упорством, могло стать прозвищем для человека — например, коренастого, медлительного или того, кто жил уединённо. Сравните с фамилией Барсуков — та же логика, но в менее привычной огласовке. Встречается также версия, что «борс» — это вариант тюркского «барс» (леопард, крупный хищник), но для фамилии с суффиксом -ск- это менее вероятно: тюркские основы чаще дают фамилии на -ов, а не на -ский.

Модель на -ский исторически была характерна для дворянских и шляхетских фамилий, особенно в Речи Посполитой и на западнорусских землях. Если Борсовская — женская форма, то мужская — Борсовский. Такая фамилия могла принадлежать роду, владевшему имением или деревней с названием Борсово. В то же время, в XIX веке суффикс -ский активно использовался и при образовании фамилий духовенства (семинаристов), и просто как «благозвучное» окончание для людей недворянского происхождения — например, при переписи крестьян могли «улучшить» фамилию, добавив ей польский оттенок.

Географически фамилия Борсовская встречается в основном в Беларуси, на западе России (Смоленская, Брянская области) и в восточной Польше. Это подтверждает её вероятное происхождение от топонима на землях бывшего Великого княжества Литовского. В современных документах можно встретить и вариант Борсовская, и Борсовский, и даже Барсовская — как результат смешения корней с фамилией от имени Варсонофий (Барс). Но именно «Борсовская» сохраняет связь с прозвищем или названием, уходящим в местную топонимику.

Таким образом, предок носителя фамилии Борсовская, скорее всего, происходил из деревни Борсово или получил прозвище Борс — за сходство с барсуком, за характер или за место жительства. Точного ответа без генеалогического поиска не дать, но направление ясно: ищите корни в западных регионах, среди мелкопоместной шляхты или крестьян, чьи фамилии оформляли по польскому образцу.