Фамилия Борщевкий — один из тех случаев, когда написание сбивает с толку. На слух она почти неотличима от более распространённой Борщевский, но суффикс -к- (вместо -ск-) меняет историю происхождения. Если фамилия оканчивается на -евский, она почти всегда указывает на географическое название (село Борщево или Борщевка), а вот Борщевкий — это, скорее всего, прозвищная фамилия, образованная напрямую от слова «борщ» с помощью уменьшительного или притяжательного суффикса.

Вероятнее всего, основа — «борщ» в значении «растение борщевик» (до того, как борщ стал супом, так называли съедобную зелень, в первую очередь борщевик или сныть). Прозвище Борщ или Борщевка могли дать крестьянину, который выращивал, продавал или любил эту зелень, либо тому, кто часто варил навар из неё. Суффикс -к-ий в старых русских фамилиях (особенно в южнорусских и украинских говорах) часто заменял книжное -ск-ий: так появлялись формы вроде Борщевкий, а не Борщевский. Это не ошибка, а живая народная модель словообразования — фамилия звучит более «своей», деревенской, чем её аристократичный двойник.

Географически фамилия тяготеет к югу России и востоку Украины. В старых переписных книгах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне и казаки с фамилией Борщевкий — в основном в Черниговской, Полтавской и Харьковской губерниях. Там же, кстати, и борщ был повседневной едой, и борщевик рос в изобилии. Сословно — почти исключительно крестьянская или казацкая среда, без дворянских корней.

Сравните с однокоренными: Борщёв (отчество от прозвища Борщ), Борщаговский (от топонима Борщаговка), Борщевский (от села Борщево). Борщевкий стоит особняком — он как бы «недоделанный» топонимический вариант, но на деле отражает старую южнорусскую манеру образовывать фамилии прямо от прозвища, без привязки к месту. Если ваш предок писался именно так, скорее всего, он был из тех, кого в деревне дразнили по еде или по занятию — и это прозвище закрепилось официально.