Фамилия Борщевски — один из тех случаев, когда написание выдаёт географию. Окончание -ски (а не более привычное русское -ский) почти наверняка указывает на польское или, шире, западнославянское происхождение. В русской традиции фамилии на -ский чаще всего были дворянскими или семинарскими, но у поляков -ski — стандартный суффикс шляхетской фамилии, образованной от названия местности. Так что ваш предок, скорее всего, был не крестьянином, а владельцем или жителем поместья Борщев (Borszczów) или села с похожим названием.

Корень фамилии — «борщ». Вопреки бытовому мнению, связь с супом здесь не прямая. В славянских языках «борщ» изначально означал растение борщевик (съедобные листья шли в зелень, отсюда и название похлёбки). Но в основе топонима (названия села) могло лежать и другое значение: «борщ» в диалектах — это иногда «острый кол», «шип», а в польском barszcz — не только суп, но и растение. Поэтому село Борщев могло получить имя по зарослям борщевика, по характеру местности или по прозвищу первого поселенца.

Фамилия Борщевски (Borszczewski) фиксируется в исторических документах Речи Посполитой, особенно на землях современной Западной Украины и Беларуси, где польская шляхта была многочисленна. После разделов Польши часть носителей фамилии оказалась в Российской империи, где написание могли русифицировать в Борщевский. Однако форма Борщевски (с конечным -и) — это либо прямой перенос польского написания, либо следы белорусской или украинской традиции, где твёрдый -ский смягчается.

Если отбросить дворянскую версию, есть и бытовая: в русской среде фамилию могли дать по прозвищу Борщ — так могли назвать любителя этого блюда, огородника, выращивавшего свёклу, или просто человека с румяным, «свекольным» лицом. Но тогда фамилия звучала бы как Борщов или Борщев. Форма на -ски почти всегда указывает на географическое происхождение, а не на прозвище.

Итог простой: Борщевски — это «тот, кто из Борщева». Если вы найдёте на карте Польши или Западной Украины населённый пункт с таким названием, считайте, что нашли родовое гнездо.