Фамилия Борвых — одна из тех, что сразу выдают севернорусское или уральское происхождение. Её выдает суффикс -ых (в родительном падеже множественного числа). В центральной России и на юге закрепились фамилии на -ов/-ев и -ин, а вот на Русском Севере, в Сибири и в некоторых районах Урала фамилии часто ставили в форму «чей?» — чьих? Борвых. Это означало «из семьи Борого» или «из дома Борых». То есть фамилия не склоняется и говорит о родовой принадлежности, а не о личном прозвище одного человека.

Основа здесь — Бор-ой или Бор-ый. Слово «бор» в древнерусском языке означало хвойный лес, сосновый бор. Человек, которого прозвали «Борой» или «Борым», мог жить в бору, быть лесным сторожем, бортником (собирателем меда диких пчел) или просто получить прозвище по месту жительства — «тот, кто из бора». В некоторых говорах «бор» имел и переносное значение: так называли крепкого, высокого, могучего человека — «как бор». Встречается и вариант, что прозвище Борой могло быть связано с цветом: «боровой» иногда означало «серый», «сивый» (о масти лошади). Но лесная версия — основная.

Фамилия редкая. Встречается в Пермском крае, Кировской области, на Урале — как раз в зоне бытования фамилий на -их/-ых. Встречаются и однокоренные варианты: Боров, Борков, Бородин (от «борода» — другой корень), но Борвых стоит особняком именно из-за суффикса. Если ваши предки — Борвых, скорее всего, они были государственными или монастырскими крестьянами из северных лесных волостей, где фамилии такого типа давали целым семьям или деревням.

Других версий, например, связи с тюркским словом «бор» (мел), практически нет — это явно славянская фамилия, искать в ней иноязычные корни нет оснований.