Фамилия Борягин образована от прозвища или имени Боряга. Это неофициальная, разговорная форма, которая могла принадлежать человеку по имени Борис. Борис — имя древнеболгарского происхождения, означающее «борющийся», «славный в борьбе». Уменьшительно-ласкательные суффиксы -яг-/-як- в русских прозвищах и фамилиях встречаются заметно реже, чем стандартные -к- или -ш-. В ономастике их называют «экспрессивными»: они придавали имени оттенок простонародной фамильярности или ласки. Сравните: Костяга (от Константин), Петряга (от Пётр), Степаняга. Со временем такие прозвища закрепились за потомками, и суффикс -ин превратил их в фамилию по схеме «чей сын?» — Борягин, то есть сын Боряги.

Вторая, менее вероятная версия выводит основу из диалектного глагола «борякать» — стучать, греметь, говорить громко и невнятно. В северных и сибирских говорах «боряга» могло означать ворчуна, брюзгу или человека с грубой речью. Эта гипотеза слабее, потому что не объясняет широкого распространения фамилии, зато может указывать на региональные корни конкретной ветви.

Фамилия Борягин встречается в основном в центральных областях России и в Поволжье, но не входит в число массовых. По данным переписей XIX века, носители чаще всего были крестьянами и мещанами — дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В написании возможна путаница с фамилией Борякин (от Боряка — той же модели), но суффикс -гин однозначно выдает первичную форму на -яга, что делает её более архаичной по звучанию.