Фамилия Борзакова — женская форма, а её мужской вариант Борзаков. В основе фамилии лежит прозвище или нецерковное имя Борзак, которое восходит к прилагательному «борзой» — быстрый, резвый, проворный. В древнерусском языке слово «борзъ» имело именно это значение, и человека с таким прозвищем могли назвать за стремительность в движениях, быстроту в беге или горячий нрав.

Модель образования типична для русских фамилий: к основе Борзак- добавился патронимический суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Борзака). Окончание -а в женской форме указывает на носительницу фамилии, обычно жену или дочь Борзакова. Такая фамилия могла закрепиться за крестьянином, ремесленником или служилым человеком, которого в быту называли Борзаком — прозвище не было редким.

Однако есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «борзак» могло означать не только «быстрый», но и относиться к породе собак — борзой. В этом случае прозвище мог получить охотник, державший борзых, или человек, внешне или по поведению напоминавший эту собаку — худой, длинноногий, стремительный. Оба объяснения не противоречат друг другу: и в том, и в другом случае корень один — древнерусское «борзъ».

Географически фамилия Борзаков встречается в центральных и южных областях России, особенно в Тульской, Рязанской и Воронежской губерниях, где были распространены прозвища на -ак. В этих же местах активно занимались псовой охотой, что косвенно поддерживает вторую версию. В словаре В. Даля слово «борзак» не выделено отдельно, но «борзой» и «борзый» описаны как синонимы быстрого, и это даёт надёжную опору для этимологии.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Борзов, Борзых, Борзенков — показывает, что Борзаков стоит в ряду тех, что образованы с помощью суффикса -ак, который часто придавал прозвищу оттенок характерности: не просто быстрый, а именно «тот самый быстрый», Борзак. Такая модель встречается реже, чем простое притяжательное на -ов, и делает фамилию более локальной, диалектной.