Фамилия Борзякова — женская форма фамилии Борзяков, и её происхождение напрямую связано с мужским прозвищем Борзяк. В основе этого прозвища лежит древнерусское слово «борзый» — то есть скорый, быстрый, проворный. В старину так могли назвать человека расторопного, бойкого, ловкого в работе или отличавшегося резвостью в движениях. Есть и вторая, близкая версия: от глагола «борзиться», что означало «торопиться, спешить». В этом случае прозвище подчёркивало привычку человека всё делать быстро, иногда даже суетливо.

Менее распространённая гипотеза связывает прозвище Борзяк с борзыми собаками. Владельца или страстного любителя псовой охоты тоже могли прозвать Борзяком, но эта версия уступает первой по вероятности: прилагательное «борзый» и его производные были гораздо шире распространены в народной речи, чем охотничья терминология.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -як (как в словах «добряк», «здоровяк») образовывал прозвища по характерному признаку. А суффикс -ов в фамилии Борзяков указывает на принадлежность — «сын Борзяка» или «из рода Борзяка». Женская форма Борзякова, таким образом, означает «дочь или жена Борзякова». Географически фамилия могла возникнуть в любом регионе, где бытовали говоры с активным употреблением слов «борзый» и «борзиться», — от северных до южных областей.