Фамилия Борзяева — редкий случай, где основа и суффикс спорят друг с другом. Если отбросить окончание -а, остаётся Борзяев. Суффикс -ев указывает на принадлежность: сын Борзяя. Но что такое «Борзяй»? Тут возможны два корня, и оба заслуживают внимания.

Первый и самый прямой — географический. В Забайкалье есть река Борзя и город Борзя. Жителя этих мест в старину могли прозвать Борзяем — по названию реки или населённого пункта. Такая модель (река + -яй) встречается у сибирских и уральских фамилий: например, Иртышов, Амурский. Если предки Борзяевых родом оттуда, фамилия могла закрепиться за переселенцами или казаками, которые служили в тех краях. В пользу этой версии говорит и то, что фамилия Борзяева встречается в Забайкалье и соседних регионах чаще, чем где-либо ещё.

Вторая версия — от прозвища или имени. В русских говорах слово «борзой» означало «быстрый, резвый, проворный». От него образовалось множество фамилий: Борзов, Борзых, Борзенков. Борзяй могло быть ласкательной или уменьшительной формой прозвища Борзой. Суффикс -яй (как в Добряй, Умняй) добавлял оттенок постоянного качества: «тот, кто всегда быстр». Правда, в этом случае ожидалась бы фамилия Борзяев с ударением на первый слог (Бо́рзяев), а не на второй (Борзя́ев). Ударение на -я- — дополнительный аргумент в пользу географического происхождения: название Борзя́ произносится именно так.

Морфология проста: корень Борз- (от «борзой» или топонима Борзя), суффикс -яй (прозвищный, как в Шустряй, Гуляй), затем патронимический -ев. Фамилия недворянская, скорее всего крестьянская или казачья, без сложной истории с приставками и переоформлениями. Встречается в основном на юге Сибири и в Забайкалье, изредка — в центральной России, куда её могли занести переселенцы в XX веке.

Спор между двумя версиями решает география: если у семьи есть корни в Забайкалье, фамилия почти наверняка топонимическая. Если нет — вероятнее прозвищное происхождение от «борзой». Оба варианта возможны, и без генеалогического исследования выбрать один сложно.