Фамилия Борзаяа — редкий случай, когда написание сразу подсказывает, что перед нами не типичная русская фамилия, а скорее всего, запись иноязычной фамилии кириллицей. В русском языке фамилии с окончанием -ая характерны для прилагательных (Борзая, Толстая), но двойная «а» на конце — «Борзаяа» — выглядит как попытка передать звучание, не свойственное русской грамматике. Скорее всего, это осетинская или, реже, чеченская фамилия. В осетинском языке, например, фамилии нередко оканчиваются на -а или -аа, а ударение падает на последний слог. Так что Борзаяа — это русифицированная запись фамилии, в оригинале звучащей как Борзаев или Борзати, но с сохранением долгого гласного.

Разбирать русские суффиксы здесь бессмысленно, потому что их нет. Основа «Борз-» в тюркских и кавказских языках часто связана со значением «быстрый», «резвый», «волк» (ср. тюркское «бёрю» — волк). В осетинском есть слово «борз» — «жеребец», «конь». Таким образом, прозвище Борз мог получить человек быстрый, стремительный, либо связанный с лошадьми. Фамилия Борзаяа — это, по сути, «принадлежащий Борзу» или «из рода Борзовых», только оформленная по законам осетинского языка, где фамильный суффикс может быть -а, -ты, -ати.

Географически фамилия почти наверняка привязана к Северной Осетии (особенно к Дигорскому ущелью) или к Ингушетии. Встречается она крайне редко, и в списках известных носителей нет громких имён — это фамилия, сохранившаяся в основном в горных селениях. Если ваш предок носил фамилию Борзаяа, он был выходцем с Кавказа, и его родовая история уходит в традиционную для этих мест систему фамильных прозвищ, где имя предка становилось основой для всех потомков.

Единственное, что можно сказать наверняка: с русским словом «борзая» (собака) эта фамилия не связана. Совпадение написания случайное, а двойная «а» в конце — как раз и есть ключ, который отсекает эту версию.