Фамилия Борздынская — редкая и звучит по-польски, но с русским суффиксом притяжательности. Разберёмся по порядку.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: основа «Борздын-» плюс суффикс -ск-, указывающий на принадлежность к местности или роду. Окончание -ая — типичное для женского варианта фамилий на -ский/-ской. Мужская форма будет Борздынский. Такие фамилии чаще всего давали по названию населённого пункта: человек из Борздыня или Борздынок.

Корень «борзд-» — древнерусский. В старорусском языке слово «борздый» означало «быстрый, скорый, проворный». Отсюда же пошла фамилия Борздынка, а в польском — Borzdyński. Встречается и вариант Борздынский с ударением на второй слог, что ближе к польскому произношению. Скорее всего, предок носителя фамилии получил прозвище Борзда за быстроту в делах или в передвижении, а уже от него образовалось название деревни, где этот человек жил или владел землёй.

Географически фамилия привязана к западным русским землям — Смоленщине, Брянщине, а также к восточной Польше. В польских метриках XVIII–XIX веков фамилия Borzdyński встречается в окрестностях Люблина и Белостока. В Российской империи носители фамилии чаще всего были мещанами или однодворцами — то есть мелкими землевладельцами, которые несли службу, но не принадлежали к дворянству. Встречаются и дворянские ветви, но документально они почти не описаны.

Есть и другая, менее вероятная версия: от тюркского «борз» — «волк» с добавлением славянского суффикса. Но она слабая, потому что для тюркских заимствований в русских фамилиях обычно характерны другие окончания (например, -ов или -ев). Гораздо правдоподобнее, что фамилия чисто славянская, с корнем, который живёт в русском наречии до сих пор: «борзо» значит «быстро».

Если ваши предки носили фамилию Борздынская, скорее всего, они происходили из западных губерний России или из Польши, а основателем рода был человек по прозвищу Борзда — проворный и расторопный.