Фамилия Борзекно — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает исходное слово. Если прочитать её по правилам русской графики, ударение, скорее всего, падает на второй слог: Борзе́кно. Но перед нами не русская, а украинская фамилия, и ключ к её разгадке — суффикс -енко.

Суффикс -енко (в старом написании часто -енко, но в русской передаче могло закрепиться и как -екно из-за особенностей произношения) — типичный украинский патронимический суффикс, означающий «сын» или «потомок». Значит, в основе лежит личное имя или прозвище Борзек или Борзко.

Самая прямая версия: основа Борз- восходит к древнерусскому прилагательному борзый — «быстрый, резвый, скорый». В украинском языке это слово звучит как борзий. Прозвище Борзко или Борзек могли дать человеку с быстрой походкой, порывистым характером или тому, кто всё делал стремительно. Фамилия Борзекно тогда означает «сын Борзка» или «потомок Борзого».

Есть и менее очевидная, но возможная версия: связь с тюркским словом борз (волк). В тюркских языках это слово давало прозвища сильным, хищным или одиноким людям. Однако для украинской фамилии с суффиксом -енко эта версия слабее — тюркские корни чаще встречаются у фамилий на -ов/-ев (например, Борзов) и в южнорусских степных регионах, а не в центральной Украине, где типичны фамилии на -енко.

Географически фамилия Борзекно почти не встречается в современных базах данных — это указывает на её крайнюю редкость или на то, что она могла быть изменена при переписях (например, превратилась в более привычное Борзенко). В украинской ономастике фамилия Борзенко (от той же основы «борзий») вполне известна и фиксируется в Черниговской и Полтавской областях. Борзекно, скорее всего, — один из вариантов её написания, закрепившийся в конкретной семье из-за особенностей местного говора или ошибки писаря.

Таким образом, перед нами украинская фамилия, образованная от прозвища, характеризующего скорость или резвость. Предки носителя этой фамилии — скорее всего, казаки или крестьяне Левобережной Украины, которым дали прозвище Борзко, а их дети стали Борзекнами.