Фамилия Борзишева, вероятнее всего, женская форма фамилии Борзишев, и её происхождение стоит искать в прозвище, связанном с диалектным словом «борзый». В русских говорах «борзый» означает «быстрый, резвый, проворный» (отсюда и порода борзых собак). Исходное прозвище Борзиш мог получить либо очень быстрый человек, либо, что тоже вероятно, нетерпеливый, торопливый. Суффикс «-иш» здесь редкий и примечательный: он не типичен для стандартной русской модели образования фамилий (обычно -ов, -ев, -ин). Этот суффикс мог указывать на украинское или белорусское влияние, где уменьшительно-уничижительные формы на «-иш» встречаются чаще. В таком случае Борзиш — это не столько «быстрый», сколько «торопыга» или «шустрик».

Другая, менее распространённая версия отсылает к географическому названию. В России есть несколько рек с названием Борзя (например, в Забайкалье). Если предок был выходцем с берегов такой реки, его могли прозвать Борзиш по месту жительства. Однако эта гипотеза слабее: прозвищный вариант «Борзиш» от реки «Борзя» менее естественен, чем от прилагательного «борзый».

Словообразовательная модель фамилии Борзишев следует старой притяжательной схеме: сначала прозвище Борзиш, затем «чей?» — Борзишев, то есть сын или потомок Борзиша. Фамилия встречается крайне редко, и её основная география, если судить по современным данным, сосредоточена в центральных и южных регионах России, что косвенно подтверждает её связь с диалектной лексикой, а не с топонимом.

Таким образом, предки Борзишевых в большинстве своём были людьми, получившими прозвище за характер — скорее всего, за быстроту или суетливость, а сама фамилия несёт в себе отпечаток южнорусского или украинского говора, что делает её необычным примером регионального словообразования.