Фамилия Борзухина — женская форма фамилии Борзухин, и её происхождение стоит разбирать именно через мужской вариант. Основа здесь — прозвище Борзуха, которое в русских говорах имело вполне конкретный смысл. Слово «борзой» означало «быстрый, резвый, проворный», а «борзун» или «борзуха» — человек с таким характером. В диалектах так могли назвать непоседу, живого и торопливого ребёнка или взрослого, который всё делал быстро и стремительно.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Борзухин — «сын Борзухи». Это типичная модель образования русских фамилий от прозвищ, оканчивающихся на -а, -я. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще образовывались от слов мужского рода (Борзов — от «борзой»), форма на -ин говорит об исходном прозвище именно в ласкательной или уменьшительной форме.

Интересно, что в ономастике есть и фамилия Борзов, и Борзунов, и Борзухин. Они все восходят к одному корню «борз-», но с разными суффиксами. Борзуха — один из вариантов прозвища, возможно, более мягкий, даже шутливый. В документах XVI–XVII веков встречаются «борзые» люди — так называли гонцов, скороходов или просто расторопных слуг, но прозвище Борзуха могло закрепиться за любым быстрым и деятельным человеком, а не только за представителем определённой профессии.

Географически фамилия Борзухины встречается в центральных и северных областях России, особенно в бывших новгородских землях и Вологодчине, где диалектное слово «борзуха» было в ходу. Сословно это, скорее всего, крестьянская или посадская фамилия: прозвища давали в среде, где не было фамильных традиций, а при закреплении фамилий в XIX веке такие «характерные» прозвища часто переходили в официальные фамилии без изменений.

Если ваши предки — Борзухины, то исходный корень указывает на живого, энергичного человека, которого в деревне прозвали за быстроту и проворство. Никакой знати или сложной этимологии — просто меткое народное слово, ставшее фамилией.