Фамилия Бояшов — это не самостоятельное образование, а фонетический вариант фамилии Баяшов. Разница здесь чисто произносительная: в русских говорах звук «а» после мягких согласных иногда переходит в «о» (явление «яканья» или, наоборот, «оканья» в слабой позиции). Так что Бояшов и Баяшов — по сути одна и та же фамилия, записанная на слух по-разному.

Основа обеих фамилий — имя Баяш. Оно, в свою очередь, производное от более древнего имени Баян. В монгольских и тюркских языках слово «баян» означало «богатый», «сильный», «счастливый». Имя было широко распространено у народов, испытавших влияние тюркской и монгольской культуры, — от татар и башкир до казахов.

Есть и вторая версия. Имя Баян могло возникнуть как результат твёрдого произношения арабского имени Бяян (означающего «ясный», «красноречивый») в местных татарских говорах. В этом случае мы имеем дело с омонимом: звучит так же, как монгольское «богатый», но корень другой. Обе гипотезы имеют право на существование, и без точного знания родословной конкретной семьи выбрать одну из них сложно.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель образования фамилий: «чей?» — «Бояшов», то есть сын или потомок Бояша. Такую форму фамилия получила уже после того, как имя вошло в русскоязычную среду, скорее всего, в среде крещёных татар или других тюркских народов Поволжья.

Встречается фамилия Бояшов в основном в регионах с исторически смешанным русско-татарским населением: в Татарстане, Башкортостане, а также в Оренбургской и Самарской областях. Редкость фамилии говорит о том, что родоначальников с таким именем было немного, и фамилия не получила массового распространения.

Таким образом, предки современных Бояшовых — люди, носившие имя или прозвище Бояш (Баяш). Скорее всего, это были татары или башкиры, впоследствии перешедшие в русскую культурную и языковую среду, где их имя записали на «о» и добавили стандартный русский фамильный суффикс.