Фамилия Будавева — редкий случай, когда написание через «е» в суффиксе почти наверняка указывает на неверную запись. В русской ономастике гораздо чаще встречается фамилия Будаев, а форма Будавева — результат того, что при оформлении документов (в паспортном столе, при переписи) мягкий звук на стыке основы и суффикса передали буквой «е», хотя по правилам русского словообразования здесь должен быть суффикс -ев. Основа фамилии — Будай (или Буда). Так что правильнее было бы писать Будаева, но раз уж исторически сложилось иное написание, оно стало самостоятельным вариантом.

Корень «буд-» в русских прозвищах и фамилиях почти всегда связан с глаголом «будить». Прозвище Будай давали человеку, который рано вставал, будил других на работу или обладал беспокойным, «будящим» характером. В некоторых говорах «будай» — это крикун, задира. Встречается и другая версия: от тюркского имени Будай (просо, зерно) — такие имена были распространены у народов Поволжья и Приуралья, где фамилия Будаев (и её варианты) встречается чаще всего. Но для чисто русской фамилии, особенно если предки жили в центральных или северных губерниях, версия с «будить» выглядит убедительнее.

Суффикс -ев/-ов указывает на принадлежность: Будавев — сын Будая. Форма женского рода Будавева закрепилась как неизменяемая фамилия, хотя изначально это было притяжательное прилагательное («жена Будая»). Сейчас носительницы фамилии могут быть и не связаны родством с тем самым Будаем — фамилия давно живёт своей жизнью.

Географически фамилия Будавева (и Будаева) тяготеет к югу России, Поволжью и Уралу. В дореволюционных источниках она почти не встречается среди дворянства или духовенства — это крестьянская или мещанская фамилия. Сословной привилегированности у неё не было, зато есть живая связь с бытовым прозвищем, которое когда-то точно описывало конкретного человека.

Единственная сложность при разборе — путаница с написанием. Если вы ищете свои корни, стоит проверять оба варианта: Будаев и Будавев. В метрических книгах XIX века один и тот же человек мог быть записан по-разному.