Фамилия Будаян — хороший пример того, как один и тот же корень может привести к разным, но одинаково логичным объяснениям. В русском языке фамилия выглядит как прилагательное с суффиксом -ян, что типично для южнорусских, украинских и молдавских фамилий (сравните: Бондарян, Скрипникян). Но ее основа — «будай» — заставляет обратиться сразу к нескольким языковым пластам.

Самая прямая версия отсылает к тюркскому слову «будай» — «пшеница». В таком случае прозвище Будай могли дать либо крестьянину, выращивавшему пшеницу, либо человеку со светлыми, «пшеничными» волосами. Это объяснение лежит на поверхности и поддерживается тем, что фамилия распространена в регионах, где исторически были сильны тюркские влияния: на юге России, в Поволжье, в Молдавии. Однако суффикс -ян в чисто русской среде встречается реже, чем, скажем, -ов или -ин, что намекает на возможное украинское или молдавское происхождение.

Вторая версия — топонимическая. В Молдавии и на Украине есть несколько сел с названием Будай (например, Будай в Черновицкой области). В таком случае фамилия Будаян — это указание на выходца из этого села: «Будаян» буквально значит «из Будая». Эта модель образования фамилий (по названию места жительства с суффиксом -ян) характерна для молдавской и украинской ономастики, где -ян часто заменяет русское -ский.

Третья, более редкая версия, связывает фамилию с диалектным русским словом «буда» — «шалаш, временное жилье, балаган». В некоторых говорах «будай» могло означать человека, живущего в таком шалаше, или сторожа, пастуха. Эта версия слабее, так как слово «будай» в таком значении почти не фиксируется словарями, но исключать ее полностью нельзя — прозвища часто рождались из местных, нигде не записанных слов.

Словообразовательная модель фамилии проста: корень «буда-», суффикс «-ян» (указывающий на принадлежность или происхождение). Ударение, скорее всего, падает на последний слог — Будая́н, что тоже типично для фамилий с таким суффиксом в украинском и молдавском ареалах. В русском языке ударение могло сместиться на второй слог — Буда́ян.

Таким образом, если ваши предки были из южных областей бывшей Российской империи или из Молдавии, то фамилия, скорее всего, либо «пшеничная», либо «географическая». Если же корни ведут в центральные или северные губернии, то стоит присмотреться к версии с «будой» — шалашом, но она менее вероятна.