Фамилия Будилка — редкий пример того, как имя, прозвище и должность могли сойтись в одной точке. Её основа — не просто корень, а целый пучок значений, и разобраться в них стоит по порядку.

Наиболее вероятное происхождение — от краткой формы древних славянских имён Будимир или Будислав. Будимир складывается из «будет» и «мир», то есть «тот, у кого будет мир». Будислав — «тот, кто станет славным». Сюда же подтягивается и литовское имя Будзивил (от būtis — «бытие» и viltis — «надежда»), что даёт перевод «тот, у кого есть надежда». В таком случае фамилия Будилка — это патроним, ответ на вопрос «чей?»: сын человека по имени Будилка или Будило. Судя по тому, что в источниках С. Веселовского упоминается подьячий Будило, казнённый в 1570 году, форма на -ило была вполне обычной для древнерусских имён, а суффикс -к- в «Будилка» мог быть уменьшительным или просто обиходным.

Менее вероятно, но тоже возможно, что фамилия пошла от прозвища Будилка. Здесь сразу несколько смысловых слоёв. Первый — прямой: «тот, кто будит, не даёт спать». Так могли назвать беспокойного ребёнка или человека, который по обязанности поднимал людей на работу. Второй — региональный: в нижегородских говорах будилкой называли безбородого мужчину, что звучит как меткое бытовое прозвище.

Суффикс -к- в фамилии — нестандартный для русской модели, где чаще встречается -ин или -ов. Это тоже подсказка: либо перед нами прозвище, которое застыло без дополнительных родовых суффиксов, либо имя на -илка, которое со временем перешло в фамилию. Такая форма характерна скорее для западнорусских и украинских земель, где уменьшительные имена на -ка были распространены шире.

Итого: с большой долей вероятности фамилия Будилка восходит к древнему славянскому или балтскому имени с пожеланием мира, славы или надежды. Прозвищная версия — вторична, хоть и не лишена оснований.