Фамилия Будильская — типичный пример того, как географическое название становится родовым именем. Её основа, скорее всего, связана не с будильником (прибором для пробуждения), а с названием населённого пункта. В Польше, на Украине и в Беларуси есть несколько мест с корнем «Будил-»: деревни Будилов, Будилы, Будильск. Формант -ск- в русских фамилиях указывает на происхождение от топонима, а окончание -ая — на женский род по модели прилагательного (ср. Московская, Тверская). Мужской вариант — Будильский.

Корень «буд-» в славянских языках означает «пробуждать, будить», но в данном контексте речь идёт не о человеке, а о месте: «Будилы» могли назвать поселение, где жили люди, занимавшиеся выжиганием леса под пашню (от «будить землю» — расчищать) или державшие сторожевых собак. Вторая версия — прозвищная: основатель рода мог получить прозвание Будила за привычку рано вставать или будить других. Однако суффикс -ск- в фамилии указывает на дворянское или шляхетское происхождение: в Речи Посполитой такие фамилии носили владельцы имений. В Российской империи после разделов Польши фамилия закрепилась за мещанами и духовенством.

По данным переписей, Будильские встречаются в западных областях России (Смоленская, Брянская), на Украине (Волынь, Житомирская область) и в Беларуси. Встречается и вариант написания с одной «л» — Будиская, но это скорее описка в документах XIX века. Редкость фамилии объясняется тем, что топоним Будильск не стал крупным городом, а остался на уровне хутора или деревни, поэтому и носителей немного. Если ваш предок — Будильский, то с высокой вероятностью он происходил из западнорусских или польских земель, где фамилия была связана с владением землёй либо с местом жительства.