Фамилия Будрис в своей основе почти наверняка литовская, и её значение связано с бдительностью и охраной. Исходное слово — литовское прилагательное budrus, что значит «бдительный», или глагол būdrauti — «бодрствовать, дежурить». Скорее всего, так в Литве или на приграничных с ней русских территориях прозвали сторожа, караульщика или человека, который нёс ночную вахту. Прозвище закрепилось за ним или его детьми, а затем перешло в фамилию.

Менее вероятная, но возможная версия отсылает к слову «будра» — так называют плющевидное растение, ладанник или резуху. В этом случае прозвище Будра мог получить человек, живший рядом с зарослями этой травы, или тот, кто занимался её сбором. Однако такая гипотеза слабее: растение «будра» в бытовой речи встречается реже, чем глаголы со значением бодрствования, и не даёт такого естественного объяснения для прозвища.

С точки зрения словообразования, фамилия Будрис — типичная для балтийских языков модель без русского суффикса. В Литве и в пограничных областях Беларуси и России (например, в Смоленской или Псковской губерниях) фамилии на -ис, -ус нередко оставались без адаптации, в отличие от тех, что получили русские окончания -ов или -ин. Поэтому Будрис — не переделанная, а сохранённая в исходном виде фамилия, что указывает на сравнительно позднюю русификацию или на компактное проживание носителей в среде, где литовский язык ещё звучал в быту.