Фамилия Бур короткая, звонкая и неочевидная. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев, она представляет собой чистую основу без суффикса, что сразу выдаёт её возможное нерусское происхождение или искусственное позднее оформление.

Самая вероятная версия — немецкая или еврейская (ашкеназская) основа. В немецком языке «Bauer» означает «крестьянин», «фермер», а сокращённая форма «Bur» (или «Baur») как фамилия широко распространена в Германии, Австрии и среди немецких колонистов, переселявшихся в Российскую империю в XVIII–XIX веках. Среди поволжских немцев, прибалтийских бюргеров или обрусевших выходцев из немецких княжеств фамилия Бур встречается регулярно. В этом случае она указывала на социальное положение предка — земледельца или владельца хутора.

Вторая, менее распространённая, но тоже реальная версия — тюркское происхождение. В ряде тюркских языков «бур» означает «мел», «белая глина» или просто «белый». Прозвище могли дать человеку со светлыми волосами или бледной кожей. Подобные односложные фамилии встречаются у татар, башкир и народов Северного Кавказа, где фамилии часто образовывались напрямую от прозвища без дополнительных русских суффиксов.

Что касается славянского корня, то в древнерусском языке слово «бур» означало «бурый», «тёмно-коричневый» — так могли называть человека по цвету волос или масти лошади, если прозвище перешло от хозяина к животному и обратно. Однако в этом случае фамилия обычно закреплялась в форме Буров, а не Бур. Форма без суффикса для русского крестьянского сословия до XX века нетипична: она могла возникнуть разве что в среде однодворцев или как усечение более длинной фамилии при переписи.

Таким образом, если ваши предки жили в Поволжье, Сибири или на юге России, скорее всего, фамилия немецкая. Если родословная ведёт в татарские или башкирские села — тюркская. В любом случае, фамилия Бур — не случайный звук, а ёмкое прозвище, за которым стоит либо социальный статус, либо внешняя примета, и которое обошлось без типичных русских суффиксов, сохранив свою первозданную форму.