Фамилия Бурий — неоднозначная по происхождению, и за её основу могли быть взяты разные слова. Разберём две основные версии, которые выглядят наиболее обоснованно.

Первая связывает фамилию с прозвищем Бура, а его — с названием химического вещества. Бура — это большие бесцветные кристаллы, растворимые в воде, которые в сухом воздухе выветриваются с поверхности. Со свойствами буры были знакомы ещё жрецы Древнего Египта, умевшие делать пламя светильников зелёным. Позже люди научились использовать буру для дубления кож, в производстве стекла и глазурей, а также как антисептик для промывания горла. В России первое упоминание о буре встречается в 1709 году в приходно-расходной книге Приказа рудных дел. В делах Петра I нашли записку о необходимости добывать буру из российских природных источников, которых оказалось немало. Вполне возможно, что прозвище Бура относилось к «профессиональным» именованиям: основатель рода Бурий мог заниматься добычей или продажей этого вещества.

Менее вероятна, но всё же возможна связь с киргизским словом bura, которое переводится как «верблюд-самец». В таком случае предок мог быть скотоводом.

Вторая версия отталкивается от украинского прилагательного «бурий» — «кофейный цвет, коричневый, ореховый, смурый», «искрасна черноватый». Здесь всё проще: прозвище Бурий (или Бурій) отражало особенности внешности. Так могли назвать человека с тёмными волосами или смуглой кожей. Эта версия особенно правдоподобна, если учесть, что на западнорусских и украинских землях фамилии с суффиксом -ий (-ій) не редкость: они образуются напрямую от прилагательного, минуя стандартные отчества на -ов/-ев.

Таким образом, фамилия Бурий могла появиться и как «профессиональное» прозвище человека, связанного с добычей буры, и как описательное — по цвету волос. Второй путь проще и встречается чаще, но первый придаёт фамилии неожиданный исторический оттенок, уходящий корнями в петровскую эпоху и ремёсла Древнего Египта.