Фамилия Бурая — это женская форма фамилии Бурый. В русской традиции такие фамилии обычно получали женщины по мужу или отцу, то есть Бурая — это «жена или дочь Бурого». Сама фамилия Бурый восходит к прозвищу, которое давали по внешнему признаку. Слово «бурый» означает «кофейный, коричневый, ореховый цвет». Чаще всего так называли людей с тёмно-русыми волосами — не рыжими, не чёрными, а именно с оттенком бурого.

Но есть и другие версии. В смоленских и рязанских говорах «бурыми» называли кочевые племена или переселенцев, которые только что осели в этих краях. В этом случае прозвище Бурый могло указывать на образ жизни или происхождение человека. Оба объяснения имеют под собой почву: цвет волос — самое очевидное, но прозвища по этническому или социальному признаку тоже были распространены.

В исторических документах встречаются родственные имена и прозвища. Например, в труде С. Б. Веселовского «Ономастикон» упоминаются: Бурена, крестьянин, 1627 год, Курмыш; Бурец Юрьев, 1475 год; Максим Бурцев, 1482 год, Московский уезд; Бурец Скрипицын, 1502 год, Переяславль. Эти записи показывают, что основа «бур-» активно использовалась в прозвищах и фамилиях задолго до того, как закрепилась в форме Бурый.

Фамилия Бурая — не единственная в этом ряду. Есть однокоренные Бурых, Буров, Буреев. Разница в суффиксах и окончаниях указывает на разные регионы и способы оформления фамилий: -ов/-ев типичен для центральной России, -ых — для севера, а -ая — для женского рода, который в документах часто писали именно так, подчёркивая принадлежность к роду Бурого.