Фамилия Бурмашев принадлежит к числу так называемых «профессиональных» прозвищ, но с неожиданным поворотом. Вопреки интуитивному желанию связать её с бурением или буром, основа здесь другая. В основе лежит древнерусское слово «бурма» — так в старину называли разновидность тяжёлой шёлковой ткани с золотым или серебряным шитьём, привозимую с Востока (от тюркского «burma» — скрученный, витой). Таким образом, Бурмаш — это, скорее всего, прозвище купца, торговавшего дорогими тканями, или же портного, который с ними работал. Суффикс -аш в данном случае — типичный для русских прозвищ уменьшительно-пренебрежительный или, наоборот, ласкательный формант (сравните: Голова — Головаш, Малой — Малыш). То есть Бурмаш — это «человек, связанный с бурмой», либо тот, кто носил такую одежду, либо её изготовитель.

Версия с тюркским корнем «бурун» (нос) — то есть «бурмас» или «бурмаш» как «носатый» — существует, но она менее убедительна. География фамилии (среднерусские области, Поволжье) скорее указывает на торговые пути, где шёлк был привычным товаром, чем на тюркские антропонимы. В словаре Б. Унбегауна фамилия не рассматривается отдельно, но модель образования через суффикс -аш с последующим русским патронимическим суффиксом -ев (чей сын? — Бурмашев) абсолютно стандартна для XVII–XVIII веков.

Интересно, что фамилия Бурмашев не получила широкого распространения в дворянской среде. Она осталась в купеческом и мещанском сословии, что подтверждает «ремесленную» или «торговую» версию происхождения. Встречается также вариант Бурмашов (с ударением на последний слог), но он редок и, скорее, является результатом диалектного произношения. В отличие от более частых фамилий на -ин, которые указывали на прямую принадлежность отцу (Иван — Иванов сын), суффикс -ев здесь закрепился из-за мягкой основы прозвища (Бурмаш — чей? — Бурмашев). Если ваш предок носил эту фамилию, с высокой вероятностью он был либо зажиточным горожанином, причастным к текстильной торговле, либо мастеровым, работавшим с дорогими восточными тканями.