Фамилия Бурмай — редкий пример, когда тюркская основа скорее всего, а славянская — под вопросом. Разбираемся по порядку.

Самое вероятное объяснение — от турецкого burma («винт, виток», «закрученный, витой»). Прозвище Бурмай могли дать человеку с кудрявыми волосами — «витой», «кудрявый». Но у того же корня есть и переносное значение: «непоседливый», «вертлявый» (как закрученный). В тюркских языках это слово активно использовалось в бытовых прозвищах, поэтому версия выглядит убедительно.

Менее вероятна связь с диалектным русским глаголом «бурмить» — говорить невнятно, бормотать. В этом случае Бурмаем могли прозвать человека с плохой дикцией. Однако слово «бурмить» встречается редко и локально, а суффикс -ай для таких прозвищ в русском языке нетипичен — обычно от глаголов образуют прозвища на -ун (Бурми́ла, Бурми́лка), а не на -ай.

Ещё одна версия — от слова «бурма» (табак низкого сорта). Тогда прозвище могло закрепиться за курильщиком или торговцем дешёвым табаком. Но и здесь проблема: слово «бурма» в этом значении — узкотерриториальное, а фамилия Бурмай встречается в разных регионах, что снижает вероятность такого происхождения.

Фамилия образована по тюркской модели: основа Бурма- + фамильный суффикс -й (как в фамилиях Карамай, Алмай). В русской среде такой суффикс редок, что дополнительно указывает на тюркские корни. Скорее всего, предки носителей фамилии жили в зоне контакта с тюркскими народами — на юге России, в Поволжье или на Кубани.

Итог: наиболее правдоподобная версия — прозвище от тюркского burma («витой, кудрявый» или «непоседливый»). Остальные гипотезы слабее: они либо опираются на редкие диалектные слова, либо не объясняют характерный суффикс фамилии.