Фамилия Бурмур — редкий случай, когда корень не бросается в глаза, а суффиксальное оформление ставит в тупик. В ней нет привычных -ов, -ев или -ин, которые крепят фамилию к отцу или деду. Окончание -ур нехарактерно для русской ономастики, и это сразу наводит на мысль о заимствованной основе или искусственном происхождении.

Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от прозвища, которое дали человеку по поведению или голосу. Первая часть — «бур» — легко связывается с глаголом «бурить» (ворчать, бормотать) или с диалектным «бурый» (угрюмый, хмурый). Вторая часть — «мур» — может отсылать к звукоподражанию «мурчать» (издавать низкий, глухой звук) или к слову «мура» (чепуха, вздор). В сумме прозвище Бурмур могло означать «ворчливый, постоянно бормочущий человек» или «тот, кто говорит ерунду». Такие прозвища по характеру были в ходу у крестьян и посадских людей: они метко, в одно слово описывали главную черту человека.

Вторая версия — тюркские корни. В языках тюркской группы есть слова, близкие по звучанию: «бур» (мел, известь, а также вихрь) и «мур» (печать, знак). Прозвище Бурмур могло попасть в русскую среду через татар или башкир, но эта гипотеза слабее — нет устойчивой тюркской модели, которая бы объяснила слияние именно этих корней в фамилию без патронимического суффикса.

Обратите внимание на окончание. Фамилии на -ур в русском языке почти всегда нерусские: польские (Мазур, Хмур), украинские (Бондарчук — через -ук, но не -ур). Бурмур может быть русифицированной формой польской фамилии Bormur или немецкой Burmur, где корень bur — «крестьянин», а mur — «стена». Но в польских и немецких источниках такая фамилия не фиксируется, так что это лишь догадка.

Географически фамилия Бурмур встречается крайне редко, в основном в центральных областях России и в Поволжье. В дореволюционных метрических книгах единичные записи попадаются в Саратовской и Тамбовской губерниях. Это говорит о том, что фамилия не разошлась широко и могла закрепиться за одним родом, который не дал многочисленных ответвлений.

Если ваши предки носили фамилию Бурмур, скорее всего, они были крестьянами или мещанами, а прозвище получили от окружающих за привычку бурчать себе под нос. Вряд ли за ней стоит дворянский род или известная историческая личность — это бытовая, «говорящая» фамилия, каких тысячи.