Фамилия Бурсаев образована по одной из самых распространённых в русской ономастике моделей: от основы, оканчивающейся на мягкий или шипящий согласный, с помощью суффикса -ев. В данном случае основа — «Бурсай». Это усечённая форма прозвища или, реже, тюркского имени. Чтобы понять, что могло лежать в основе, нужно разобрать корень «бурс-».

Самый прямой путь — от слова «бурса». В дореволюционной России бурсой называли общежитие при духовных училищах и семинариях, а затем и само учебное заведение. Слово пришло из латыни через польский язык. Воспитанников бурсы именовали бурсаками. Прозвище Бурсай могли дать человеку, который учился в бурсе, был её выпускником или, наоборот, служил при ней — например, сторожем или экономом. Фамилия Бурсаев, таким образом, могла означать «сын бурсака» или «сын того, кто связан с бурсой». Это объяснение простое, лежит на поверхности и не требует привлечения экзотических гипотез.

Однако есть и вторая, не менее правдоподобная версия — тюркская. В тюркских языках слово «бурса» или «бурсу» имеет значение «барс», «леопард» либо «хищный зверь». Имя или прозвище Бурсай (Бурса-ай — «барс-луна» или просто «барс») могло быть дано человеку за силу, ловкость или свирепый нрав. В этом случае фамилия Бурсаев — русифицированная форма тюркского имени, распространённая среди татар, башкир, ногайцев и других народов Поволжья и Кавказа. Такая версия особенно вероятна, если учесть, что суффикс -ев типичен для фамилий, образованных от основ на -ай, -ей, -уй.

Обе гипотезы не противоречат друг другу. Фамилия могла возникнуть независимо в разных регионах: в центральной России — от бурсы, а в Поволжье или на юге — от тюркского прозвища. Спорить, какая из них «правильнее», бессмысленно без конкретной генеалогии конкретной семьи. Носителям фамилии стоит проверить, с какой местности происходят их предки: если из губерний, где были духовные училища (Киевская, Черниговская, Полтавская, Курская), версия с бурсой более вероятна; если из татарских или башкирских родов — скорее всего, тюркский след.

В написании фамилии возможны варианты — Бурсаев и Бурсаев (с ударением, как правило, на второй слог: БурсАев). Исторически в документах встречается и написание через «о» — Бурсаев, но это редкий случай, связанный с диалектным произношением.