Фамилия Бурсайлов — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Если разбить её на части, сразу бросается в глаза нестандартный суффикс -айл-: в русских фамилиях он почти не встречается. А это обычно верный признак того, что перед нами не исконно русская, а искусственная или книжная модель образования.

Самая вероятная версия: фамилия происходит от слова «бурса» — так называли духовное училище (семинарию) в России, Украине и Беларуси. Восходит оно к латинскому bursa («кошелёк, сумка») — в средневековых университетах так называли общежитие для бедных студентов, а затем и само учебное заведение. Семинаристов в народе дразнили «бурсаками», а их быт и нравы ярко описал Н. Г. Помяловский в повести «Очерки бурсы». Фамилия Бурсайлов могла возникнуть как прозвище ученика бурсы — или, что ещё вероятнее, как «семейная» фамилия, данная выпускнику семинарии при окончании училища.

Именно в семинарской среде было принято давать фамилии с необычными, «латинизированными» окончаниями: отсюда Бурсайлов, Бурсаков, Бурсанов, Бурсиков. Суффикс -айл- в данном случае — искусственное украшение, чтобы фамилия звучала «учёно» и благородно, по образцу греческих или латинских имён. Семинаристы нередко получали фамилии по названию учебного заведения: Бурсайлов — «сын бурсы», то есть человек, вышедший из духовного училища.

Менее убедительная версия связывает фамилию с диалектным словом «бурсай» — в некоторых говорах так могли называть шумного, бесшабашного человека (от «бурсачить» — буянить). Но в этом случае форма Бурсайлов выглядит странно: естественнее было бы Бурсаков или Бурсаев. Поэтому семинарское происхождение остаётся основным.

Географически фамилия встречается крайне редко. Основные очаги — юг России, Ростовская область, Краснодарский край, а также Украина. В дореволюционных метрических книгах Бурсайловы фиксировались среди мещан и духовного сословия. В дворянских родословных эта фамилия не отмечена.

Коротко: ваш предок почти наверняка учился в духовной семинарии или бурсе, и фамилия досталась ему как память об этом — с намёком на латинскую учёность.