Фамилия Бурсайловы — редкий случай, когда основа слова не даёт однозначной подсказки. Внешне она напоминает отчества от прозвища Бурсай, но с чем связано это прозвище — вопрос, на который у этимологов нет готового ответа. Разберём по частям.

Корень «бурс-» в русских говорах имеет несколько значений. В южных и центральных регионах «бурса» — это семинария (от латинского bursa — «кошелёк», «общежитие»), а её воспитанников называли бурсаками. Но фамилия Бурсайловы образована не от «бурсака», а от более редкой формы «бурсай» или «бурсайло». Суффикс -ай- в русских прозвищах часто придаёт оттенок действия или свойства: «кривляй» (кривляка), «ломай» (забияка). Соответственно, «бурсай» мог означать человека, который учился в бурсе, но с оттенком пренебрежения — «бурсак-недоучка» или «бурсацкий задира». Вторая версия отсылает к диалектному глаголу «бурсать» — в некоторых говорах так называли ворчать, бурчать или делать что-то небрежно. Тогда Бурсай — прозвище ворчливого или неаккуратного человека.

Суффикс фамилии -лов- указывает на модель образования от прозвища на -айло: Бурсайло → Бурсайлов. Такие фамилии типичны для северных и центральных областей России, где суффикс -ло активно использовался для характеристики человека по действию (например, Швыряйло, Ломайло). То есть первоначальная форма — Бурсайло, а «Бурсайлов» — это уже отчество: «сын Бурсайла».

Географически фамилия встречается крайне редко, преимущественно в Поволжье и на Урале. В дореволюционных метрических книгах единичные записи попадаются среди крестьян и мещан. Дворянских родов с такой фамилией не известно — это стопроцентно крестьянская или посадская фамилия, возникшая в среде, где прозвища давали по поведению или социальному статусу.

Если ваш предок носил фамилию Бурсайлов, скорее всего, он был либо выходцем из духовного сословия (но не поповичем, а «отставным» бурсаком), либо человеком с характерным прозвищем, которое закрепилось за родом. Точнее сказать трудно: фамилия настолько редкая, что её корни не попали в основные ономастические словари. Но сама её необычность — хороший повод покопаться в региональных архивах: именно такие «штучные» фамилии часто хранят историю одной конкретной семьи, а не целого сословия.