Фамилия Бурше — редкий случай, когда корень не в славянском языке, а в западноевропейском. Проще всего объяснить её происхождение от французского слова boucher — «мясник». В России XVIII–XIX веков французский язык был языком дворянства и образованного сословия, поэтому фамилии такого типа могли появляться у выходцев из Франции, у обрусевших иностранцев или у крепостных, получивших «модную» фамилию от барина. Однако есть и другой вариант: в польском и белорусском языках слово bursztyn означает «янтарь». В таком случае Бурше — это вариант фамилии Бурштын, где конечное -е могло появиться из-за особенностей местного произношения или при записи фамилии в документах.

Суффикс -е в фамилии Бурше нетипичен для русской модели образования. В русском языке фамилии на -е обычно заканчиваются на -ев, -ов или -ин. Здесь же — чистая основа без суффикса, что характерно для фамилий польского, немецкого или французского происхождения. Если бы фамилия была исконно русской, она звучала бы как Буршев или Буршин. То, что она сохранилась в форме Бурше, говорит о том, что носитель или его предки не были крестьянами центральной России, а принадлежали к среде, где иностранные слова и имена не переделывали на русский лад.

Географически фамилия Бурше встречается в западных регионах бывшей Российской империи — в Беларуси, на Украине, в Прибалтике, а также в среде польской шляхты. В послереволюционные годы часть носителей могла эмигрировать или быть сосланной, поэтому сейчас Бурше можно встретить и в Сибири, и в Казахстане. Но массовой эта фамилия никогда не была: по данным современных телефонных справочников, в России живут единицы людей с такой фамилией.

Есть и третья, менее вероятная версия: от немецкого Bursche — «парень», «студент», «подмастерье». В немецких землях это слово могло стать прозвищем, а затем и фамилией. В пользу этой гипотезы говорит то, что в XVIII веке в Россию приезжало много немецких ремесленников и учёных. Однако в русском языке форма Бурше не передаёт типичного немецкого произношения (Bursche звучит как «бурше»), так что эта версия уступает французской и польской.

Таким образом, фамилия Бурше — скорее всего, след культурного влияния Запада на Россию. Предки носителя могли быть мясниками (французский след), торговцами янтарём (польский след) или просто людьми, чья фамилия была записана на слух в пограничных губерниях.