Фамилия Далинчук звучит очень характерно для западноукраинского ареала. Её выдает суффикс -чук. В ономастике это классическая модель отчества: в украинском языке суффикс -чук (как и -енко) означал «сын» или «потомок». Следовательно, Далинчук — это «сын Далина» или «потомок Далина».

Сложность в том, что личное имя или прозвище Далин — редкое. В славянской антропонимии напрямую оно не фиксируется как каноническое крестильное имя. Скорее всего, основа связана с глаголом «далить» или прилагательным «дальний». В говорах «далить» могло означать «отдалять, разделять», а «далина» — это «даль, отдаленное место». Прозвище Далин могли дать человеку, который жил на отшибе, в глухой местности, или, наоборот, пришлому издалека, «дальнему» родственнику.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с диалектным словом «даль» в значении «глупец, простофиля» (в некоторых польских и белорусских говорах). Однако для западноукраинской территории, откуда фамилия, скорее всего, происходит, версия с географическим прозвищем выглядит убедительнее. Имя Далин могло быть и уменьшительной формой от редкого крестильного имени, например, Далмат (по названию области Далмация), но это уже сложное построение.

Фамилия Далинчук распространена в основном в западных областях Украины — Волынской, Ровенской, Тернопольской. Встречается она и у украинской диаспоры в Канаде и США. Сословно носители такой фамилии, скорее всего, относились к крестьянам или казакам, так как модель на -чук была массовой именно в этих слоях населения в XVI–XVIII веках. Шляхта (дворянство) предпочитала фамилии на -ский.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Далинчук, они, вероятно, происходили с запада Украины, а их родоначальник получил прозвище Далин за то, что жил в отдалении от остальных — на дальнем хуторе или в глухой деревне.