Фамилия Даманкий — редкая, и её происхождение неочевидно. Первое, что бросается в глаза, — окончание -ий. В русских фамилиях оно характерно для моделей на -ский/-цкий (Дубровский, Троицкий) или на -ин/-ов, но здесь основа другая. Фамилия Даманкий не вписывается в привычные славянские словообразовательные схемы, и это подсказывает, что корни стоит искать за пределами восточнославянской традиции.

Самая вероятная версия — греческое происхождение. В основе лежит имя Дамас (Damaskinos) или топоним Дамаск. В византийской и поствизантийской традиции существовало имя Дамаскин (Damaskinos), означающее «дамасский», то есть родом из Дамаска. В русской среде через церковное почитание святого Иоанна Дамаскина имя могло трансформироваться: усечение суффикса -ин и замена окончания на -ий дали форму Даманкий. Такое фонетическое изменение — потеря слога «с» (Дамаскин → Дамаский → Даманкий) — возможно под влиянием народной этимологии или просто при устной передаче.

Менее вероятно, но стоит упомянуть: фамилия могла возникнуть из прозвища, связанного с диалектным словом «даман» или «дамань» (в некоторых говорах — «болото», «топь»), но эта гипотеза не имеет надёжных подтверждений. Суффикс -кий в таком случае указывал бы на принадлежность к местности: «Даманкий» — человек с болота, но это чисто умозрительная версия.

Сословная принадлежность носителей фамилии Даманкий не прослеживается по массовым источникам. Скорее всего, это фамилия духовного или семинарского происхождения: в среде русского духовенства было принято давать фамилии по именам святых или по церковным праздникам. Иоанн Дамаскин — один из отцов церкви, и его имя легко могло стать основой для фамилии воспитанника семинарии. В таком случае Даманкий — это искусственная, книжная фамилия, а не уличное прозвище.

Сегодня фамилия встречается единично, преимущественно на юге России и в Беларуси. Встретить её можно скорее в старых метрических книгах, чем в современных справочниках. Если вы носитель этой фамилии, ваш предок, вероятно, имел отношение к церковной среде или происходил из региона, где сохранялось греческое влияние на местную ономастику.