Фамилия Дайнко звучит и смотрится не по-русски, и это верное ощущение: её корни ведут на запад и юго-запад славянского мира. В русском языке нет слова «дайн», а в украинском, белорусском и польском — есть. Основа фамилии — прозвище Дайно, которое, скорее всего, образовано от глагола «дати» (дать) или его диалектных форм. В польском и украинском языках «дайно» могло означать «тот, кто даёт», «щедрый», или же относиться к человеку, который постоянно что-то просит (от «дай»). Вторая версия, менее вероятная, связывает корень с литовским «dainuoti» (петь) — тогда Дайнко мог быть певцом, но для славянской фамилии это нетипично.

Суффикс -ко — один из самых распространённых в украинских и белорусских фамилиях. Он выполняет две функции: уменьшительно-ласкательную (Дайнко — «маленький Дайно») и патронимическую (указывает на происхождение: «сын Дайны»). Такая модель типична для Поднепровья, Волыни и Галиции. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые часто закрепляли за крестьянами после отмены крепостного права, фамилии на -ко в этих землях бытовали у всех сословий — от казаков до мещан.

Интересно, что фамилия Дайнко почти не встречается в центральной России. Её ареал — западные области Украины, юг Беларуси и восток Польши. Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, были выходцами из этих мест, возможно, из числа мелкой шляхты или зажиточных крестьян. В польских метриках XVII–XVIII веков можно найти запись «Dajenko» или «Dajno» — это одно и то же, просто вариант транскрипции.

Сравните с однокоренными фамилиями: Дайнеко, Дайнович, Дайновский. Дайнко — самая короткая и, вероятно, самая древняя форма, сохранившая исходный суффикс без дополнительных наращений. В отличие от Дайнеко, где суффикс -енко указывает на «сына» более прямо, Дайнко могло быть и прозвищем, и отчеством одновременно.