Фамилия Дажук — яркий пример того, как украинская и белорусская народная традиция создавала фамилии из личных имён с помощью уменьшительно-ласкательных суффиксов. В её основе лежит имя Даж, которое является сокращением от крестильного имени Даниил (от древнееврейского «Бог — мой судья»). В народе это имя имело множество обиходных форм: Даня, Даша, Дацко, Дажко. От последнего и пошла основа «Даж-», к которой добавили типичный для западных регионов суффикс -ук. Такая модель (-ук/-юк) означает «маленький» или «потомок»: Дажук — буквально «сын или внук Дажа», то есть Даниила.

Географически фамилия тяготеет к западноукраинским землям, особенно к Волыни, Ровенской и Хмельницкой областям, а также встречается в приграничных районах Беларуси. Здесь суффикс -ук — один из самых распространённых, он вытеснил великорусское -ов и польское -ский. Интересно, что в польской традиции фамилия могла писаться как Dażuk или Dażuk, но в русской записи через «а» закрепилась форма Дажук. Если предки носителя фамилии жили в XVIII–XIX веках, они, скорее всего, были крестьянами или мещанами — именно в этих сословиях фамилии на -ук давали детям по имени отца, а не по прозвищу или профессии.

Есть и другая, менее вероятная версия: корень «даж-» может восходить к глаголу «дажать» (жать, сжимать) или к диалектному слову «даж» в значении «дождь». Но лингвисты считают такую этимологию натяжкой — в украинской антропонимике прозвища от природных явлений редко оформлялись суффиксом -ук. Гораздо логичнее видеть в Дажуке патроним от популярного имени.

Сравнение с соседними фамилиями — Дацюк, Данюк, Дащук — показывает, что все они образованы от одной и той же основы (Даниил), но через разные диалектные варианты имени. Дажук — самый редкий из этого ряда, что делает его своеобразным маркером узколокальной традиции: возможно, в конкретном селе или волости прижилась именно форма «Даж», а не «Дац» или «Дан». Никаких знаменитых носителей фамилии в открытых источниках не зафиксировано, что типично для фамилий, не попавших в дворянские родословные книги.