Фамилия Дерево — редкий случай, когда прозвище перешло в наследственное имя в почти неизменном виде, без типичных фамильных суффиксов. В русской традиции фамилии на -ов, -ев, -ин, -ский составляют подавляющее большинство, а форма чистой основы (Дерево, Сорока, Мороз) характерна в основном для украинской и белорусской ономастики, либо для поздних канцелярских записей, когда прозвище записывали «как слышали», не переделывая. Поэтому первое, что бросается в глаза: носитель фамилии Дерево с высокой вероятностью имеет корни в юго-западных землях бывшей Российской империи — на Украине, в Беларуси или в южнорусских губерниях, где такие бессуффиксные формы были нормой.

Смысловая основа прозрачна: прозвище Дерево могли дать человеку по внешнему признаку — высокому росту, худощавости, крепкому телосложению, похожему на ствол. В говорах существовало и переносное значение: «деревом» называли неповоротливого, медлительного или бесчувственного человека (ср. «дубовый», «деревянный»). Второй, более конкретный пласт — профессиональный. Древоделы, плотники, столяры, а также люди, жившие в лесной глуши или занимавшиеся рубкой и сплавом леса, легко могли получить такое уличное имя. В писцовых книгах XVI–XVII веков встречаются крестьяне с прозвищем Дерево, но в качестве фамилии оно закрепилось позже, в основном в среде крестьянства и казачества.

Словарь Б. Унбегауна «Русские фамилии» относит подобные образования к группе фамилий из прозвищ, не подвергшихся патронимической обработке. Он же отмечает, что в украинской традиции фамилии на -о (Дерево, Бондаренко, Шевченко) часто несут на себе ударение на последнем слоге, что отличает их от русских форм. Впрочем, в русском языке фамилия Дерево может произноситься и с ударением на первый слог, и на второй — это зависит от региональной привычки семьи.

Интересная деталь: существуют однокоренные фамилии, образованные по другим моделям — Деревцов, Деревнин, Деревягин, Деревянкин. Все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами и окончаниями. Фамилия Дерево среди них — самая архаичная по форме, она сохранила прямую связь с прозвищем, не заслонённую грамматическими пристройками. Если ваши предки носили именно её, скорее всего, они были из тех мест, где фамилии записывали по живому произношению, а не по московским канцелярским шаблонам.