Фамилия Дерин (и её вариант Дёрин) — это отчество, образованное от прозвища через простой и понятный суффикс -ин, который в русской традиции отвечает на вопрос «чей?»: сын или потомок Дери. Спор о происхождении самого прозвища упирается в глагол «драть», но вот что именно имели в виду — вопрос открытый.

Первая и самая очевидная версия — профессиональная. Деря или Дёра — так на Руси могли назвать человека, который драл лыко. Лыко — это кора молодой липы, из неё плели лапти, короба, мочало. Работа грязная, требовала силы и сноровки, но в крестьянском быту была обычной. Тот же глагол «драть» относился и к выделке кож: драть шкуру с убитого зверя. Так что предок Дериных мог быть кожевником или лыкодёром — ремесленником, чья работа была на виду у всей округи.

Вторая версия — по характеру. «Драть» в переносном смысле означало «сечь, бить, наказывать». Прозвище Деря могли дать человеку крутого нрава, вспыльчивому или строгому, который «дерёт» подчинённых и домочадцев. Такие прозвища по поведению — одна из древнейших моделей русских фамилий, и здесь она тоже возможна.

Третья версия выбивается из славянского ряда. Слово derin в турецком языке означает «глубина». Фамилия Дерин могла возникнуть у народов, испытавших тюркское влияние, или у выходцев из Османской империи, которые со временем обрусели. Эта гипотеза менее вероятна для массового бытования фамилии в центральной России, но полностью исключать её нельзя — особенно если учесть, что фамилия встречается и на юге, и в Поволжье, где контакты с тюрками были плотными.

Что касается написания: Дерин и Дёрин — это не две разные фамилии, а варианты одной и той же. Буква «ё» в русских фамилиях часто заменялась на «е» при записи в метриках и паспортах, особенно в советское время. Так что если ваша фамилия пишется через «е», это не значит, что корень у неё другой — просто букву «ё» перестали ставить.