Фамилия Дерюжка — редкий случай, когда прозвище не перешло в стандартную патронимическую форму на -ов или -ин, а сохранилось почти в исходном виде, с уменьшительным суффиксом -к-. Это сразу указывает, что перед нами не «чей-то сын», а прямое прозвище человека, которое закрепилось за ним и его потомками без изменений. Такая модель встречается в северных и центральных говорах, где прозвища нередко становились фамилиями без дополнительного оформления.

Основа слова — «дерюга», грубая ткань из очёсов льна или пеньки, нечто вроде мешковины. В переносном смысле дерюгой называли небрежно одетого, бедно или неряшливо выглядящего человека. Дерюжка — это та же дерюга, но с пренебрежительно-ласкательным оттенком: так могли прозвать либо небогатого крестьянина в худой одежде, либо, наоборот, мастера, который ткал или торговал дерюгой. Ирония в том, что прозвище могло пристать к человеку, который сам носил плохую одежду, но не обязательно был бедняком — иногда так дразнили за неопрятность.

По говорам слово «дерюга» имело и второе, более грубое значение — сварливая, бранчливая женщина. В этом случае Дерюжка могло быть прозвищем женщины с тяжёлым характером, но фамилия, скорее всего, закрепилась за мужчиной, поскольку в русской традиции фамилии на -ка от женских прозвищ — редкость. Вероятнее, что прозвище получил мужчина за свой неуживчивый нрав, а фамилия пошла от него.

Фамилия нечастая, географически тяготеет к южнорусским областям — встречается в Курской, Воронежской, Ростовской губерниях. Встречаются варианты написания «Дерюжко», что характерно для украинского влияния: суффикс -к-о вместо -к-а. В XIX веке носители фамилии числились в основном государственными крестьянами, то есть лично свободными, но приписанными к общине. Никаких дворянских родов с такой фамилией не известно.

Споров вокруг происхождения почти нет: прозвищный корень очевиден, а попытки связать фамилию с диалектным «дерюжить» (драть, рвать) — натяжка, так как глагол редок и не дал устойчивых прозвищ. Дерюжка — из тех фамилий, которые прямо говорят о быте и нравах: либо ткач, либо неряха, либо скандалист, но почти наверняка человек с яркой, запоминающейся чертой, за которую его и прозвали.