Фамилия Держиев — один из тех случаев, когда корень слова спорит с суффиксом. С первого взгляда она кажется образованной от глагола «держать»: «держ-» плюс суффикс принадлежности -ев, то есть «чей-то сын» или «чей-то работник». Но в русских фамилиях на -ев основа обычно происходит от имени или прозвища, а не от чистого глагола в повелительном наклонении. Если бы предка прозвали Держи (в смысле «держи, не отпускай»), то логичнее была бы фамилия Держин или Держинский. Держиев же тяготеет к другому кругу.

Наиболее вероятная версия — тюркское происхождение. В тюркских языках, особенно в кумыкском, ногайском и карачаево-балкарском, есть основа «держи» или «терзи», означающая «портной», «швец». Это профессиональное прозвище: человек, который шьёт одежду. Суффикс -ев в таком случае — русский патронимический формант, который добавили при оформлении фамилии по русскому образцу. То есть Держиев — это «сын портного» или «из рода портных». Фамилия распространена в Дагестане, Чечне и среди тюркских народов Северного Кавказа, и там это значение хорошо известно.

Есть и вторая версия, более редкая. В некоторых говорах русского юга «держа» или «держак» — это рукоятка, черенок, то, за что держат. Такое прозвище мог получить человек, который делал топорища, косовища или просто был «крепким, как рукоять». Но эта гипотеза слабее: она не объясняет, почему суффикс -ев стоит после гласной, а не после согласного (было бы Держаков или Держаев). К тому же географически фамилия Держиев почти не встречается в исконно русских областях, что указывает на заимствование.

С точки зрения словообразования интересно, что фамилия избежала типичного для русских фамилий суффикса -ин (Держин), который обычно присоединяют к основам на -а/-я. Вместо этого мы видим -ев, что характерно для фамилий, образованных от тюркских или кавказских имён и прозвищ на согласный. Сравните с фамилиями Кулиев, Алиев, Даудов — та же модель: тюркская или арабская основа плюс русский суффикс.

Так что если вы Держиев, ваши предки с большой долей вероятности были портными или скорняками на Северном Кавказе. Фамилия не древняя — она оформилась в XVIII–XIX веках, когда горцам начали массово давать русские патронимы. Других известных носителей, вошедших в энциклопедии или справочники, нет — фамилия осталась локальной, бытовой, без громкой истории.