Фамилия Держирукова — женская форма фамилии Держируков, которая относится к числу так называемых «говорящих» фамилий, образованных от прозвища-императива. В её основе лежит повелительное наклонение глагола «держать» (с усечением окончания: «держи») и существительное «рука» в родительном падеже. Получается буквально: «держи руку» или «держись за руку». Такие составные фамилии (глагол + существительное) — редкое, но выразительное явление в русской ономастике. Они обычно возникали не в крестьянской среде, а в среде служилых людей, казаков или посадских, где прозвище могло закрепиться за человеком с характерной манерой поведения или профессией.

Прозвище Держирука, скорее всего, давали человеку, который постоянно за кого-то или за что-то держался — в прямом или переносном смысле. Это мог быть слабый здоровьем человек, которому требовалась опора, или, наоборот, надёжный спутник, которого просили не отпускать руку. Впрочем, в словаре русских фамилий Б. О. Унбегауна такие формы (Держиморда, Держидерево) трактуются как прозвища, указывающие на конкретный физический признак или действие, — не обязательно положительное. В случае с Держируковым возможна и ироничная окраска: так могли назвать прилипчивого, навязчивого человека.

Словообразовательная модель проста: к основе «Держирук» прибавлен патронимический суффикс -ов, который указывает на принадлежность («чей?» — Держируков). Фамилия закрепилась в мужском роде, а женская форма — Держирукова — образована стандартным для русского языка окончанием -а. Поскольку фамилия нечастая и не попала в массовые списки дворянских или купеческих родов, её носители в прошлом, вероятно, относились к непривилегированным сословиям: крестьянам, мещанам или однодворцам южных губерний.

Географически фамилия Держируков встречается эпизодически, но с заметной концентрацией в Поволжье и на юге России (Волгоградская, Ростовская области, Краснодарский край). Это косвенно подтверждает гипотезу о казачьем происхождении: в казачьей среде были распространены прозвища, построенные на глагольных командах. В переписных книгах XVII–XVIII веков такие фамилии почти не фиксируются — они оформились позже, в XIX веке, когда прозвища окончательно превратились в наследственные фамилии. Если у вас есть семейное предание о предке-казаке или о человеке, который «всегда держался за руку», это вполне согласуется с лингвистическим анализом.