Фамилия Держикян — редкий случай в армянской ономастике, когда славянская основа соединилась с армянским патронимическим суффиксом -ян (в диалектной форме -ян). Суффикс этот означает принадлежность к роду («из дома такого-то»), поэтому фамилию стоит понимать как «потомок Держика».

Самая вероятная версия: в основе лежит прозвище или имя Держик — уменьшительная форма от древнего славянского имени Держан. Имя это образовано от глагола «держать» и могло означать «крепкий», «владеющий». Однако у него есть и другая, обрядовая, функция: на Руси и у соседних народов именем Держан нередко нарекали мальчика, если в семье умирали дети. Родители верили, что имя-оберег «задержит» ребёнка в этом мире, не даст уйти. Такая же охранительная логика встречается и в тюркских именах.

Возможно также, что Держик — это сокращение от двухосновных славянских имён вроде Держимир («держащий мир») или Держислав («держащий славу»). Такие имена были распространены в древнерусской среде, и от них через уменьшительную форму вполне могла образоваться фамилия.

Менее надёжная, но любопытная гипотеза связывает фамилию с армянским элементом «тер» (господин, священник) и этнонимом «джики». Джиками в средневековых грузинских и византийских источниках называли группу абхазо-адыгских племён, живших на северо-западе Кавказа. В IX–XI веках они активно участвовали в политической жизни региона. Если принять эту версию, Держикян мог означать «потомок священника из племени джиков». Слово «джик» со временем получило и нарицательное значение — так на Кавказе называли горного барса, зверя, символизирующего силу и отвагу. Поэтому не исключено, что прозвище Джик давали храброму воину, а фамилия закрепилась уже за его потомками.

Из всех гипотез славянская версия кажется более прямой и лингвистически прозрачной: армянские фамилии со славянской основой хоть и редкость, но встречаются — особенно в среде, имевшей контакты с русским населением на Кавказе или в результате браков. Версия с «джиками» сложнее и требует допущений, которые не подтверждаются простым словообразовательным разбором.